Navier-Stokes Milenyum Ödülü Problemi Üzerine

Milenyum Ödülü Sorunlarından biri olan Navier-Stokes varlığı ve düzgünlük sorununun çözümünü paylaşıyoruz. Dahili bir OpenAI sistemi tarafından üretilen bu kanıt, akışkan hareketi için Navier-Stokes denklemlerinin dinamiğinin sonlu zamanda bir tekillik geliştirebileceğini göstermektedir. Yalın'da hem kanıtın yazılışını hem de formalizasyonunu paylaşıyoruz. Milenyum Ödüllü Problemler⁠(yeni bir pencerede açılır) matematiğin sınırındaki en derin sorulardan bazılarını temsil eder. Düzgün üç boyutlu akışkan hareketinin bozulup bozulamayacağı sorusu yaklaşık 90 yıldır çözümsüz kaldı. Çalışmalarımızın temel hedeflerinden biri, bilim adamlarını tüm insanlığa yarar sağlayan araştırma ve teknolojiyi geliştirme konusunda güçlendirmektir. Navier-Stokes sorununu çözmek için GPT‑6 Astra'dan önemli ölçüde daha yetenekli olan dahili bir model kullandık. Dünyayı yapay zekanın ilerleme hızı ve gelecek modellerden neler beklenebileceği konusunda bilgilendirmenin önemli olduğuna inanıyoruz. Sorun Navier-Stokes denklemleri, sıvıların nasıl hareket ettiğini açıklamak için Newton'un ikinci hareket yasasını ("F=ma") kullanır. Daha da önemlisi, tek tek molekülleri izlemek yerine bir sıvıyı sürekli bir ortam olarak ele alıyorlar. Bu denklemler uçak tasarımı, hava tahmini ve kan akışının incelenmesi için kullanılır. Bu dinamik denklemler için temel açık soru, akışkanın süreklilik yaklaşımının bozulup bozulamayacağıdır.

Spesifik olarak, sabit yoğunluğa sahip üç boyutlu sıkıştırılamaz bir akışkan için Navier-Stokes denklemleri, hareket düzgün bir şekilde başladığında bile bir "tekillik" geliştirebilir mi? Burada tekillik, dinamiğin sınırlı bir süre içinde akışkanın sınırsız büyüme hızlarına yol açması anlamına gelir. Bir tekilliğin gelişimi, hareketi yumuşatma eğiliminde olan viskozitenin varlığına rağmen gerçekleşmek zorundadır. Gerçek bir akışkan sonsuz hızda hareket edemeyeceği için bu, denklemlerin akışkanı modelleme biçiminde bir bozulmaya işaret eder. Sistemi modellemeye devam etmek için her parçacığın davranışının ayrı ayrı izlenmesi gerekecektir. Denklemler Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'un on dokuzuncu yüzyıl çalışmalarına kadar uzanır. 1934'te Jean Leray, çözümlerin genel anlamda var olduğunu kanıtladı, ancak bunların her zaman düzgün kalıp kalmadığı, cevaplanmayan merkezi bir soru haline geldi.